15$\Omega$ রোধের একটি তারকে টেনে এমন ভাবে লম্বা করা হল যাতে এর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ এবং প্রস্থচ্ছেদ অর্ধেক হয়। এখন তারটিকে সমান দুই অংশে বিভক্ত করে অংশ দুইটিকে সমান্তরালে সংযুক্ত করা হল। এই অবস্থায় তারটির রোধ কত হবে?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত তারের প্রাথমিক রোধ \(R_0 = 15 \, \Omega\)।

কোনো তারের রোধের সূত্র হলো \(R = \rho \frac{L}{A}\), যেখানে \(\rho\) হলো রোধাঙ্ক (resistivity), \(L\) হলো দৈর্ঘ্য এবং \(A\) হলো প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (cross-sectional area)।

যখন একটি তারকে টেনে লম্বা করা হয়, তখন এর আয়তন (volume) অপরিবর্তিত থাকে। আয়তন \(V = AL\)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, তারটিকে টেনে এমনভাবে লম্বা করা হলো যাতে এর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ (\(L' = 2L\)) এবং প্রস্থচ্ছেদ অর্ধেক (\(A' = A/2\)) হয়।

আমরা যাচাই করতে পারি যে আয়তন অপরিবর্তিত থাকে: \(A'L' = (A/2)(2L) = AL\)। এটি সঠিক।

এখন, নতুন তারের রোধ \(R'\) হবে:

\(R' = \rho \frac{L'}{A'}\)

\(R' = \rho \frac{2L}{A/2}\)

\(R' = \rho \frac{4L}{A}\)

\(R' = 4 \left( \rho \frac{L}{A} \right)\)

যেহেতু প্রাথমিক রোধ \(R_0 = \rho \frac{L}{A}\), তাই

\(R' = 4 R_0\)

\(R' = 4 \times 15 \, \Omega\)

\(R' = 60 \, \Omega\)

এরপর, এই \(60 \, \Omega\) রোধের তারটিকে সমান দুই অংশে বিভক্ত করা হলো। যেহেতু তারটি সমান দুই অংশে বিভক্ত করা হয়েছে, প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়ে যাবে এবং তাই প্রতিটি অংশের রোধও অর্ধেক হবে।

\(R_1 = R_2 = \frac{R'}{2} = \frac{60 \, \Omega}{2} = 30 \, \Omega\)

এখন, এই দুটি অংশকে সমান্তরালে (parallel) সংযুক্ত করা হলো। দুটি রোধ সমান্তরালে সংযুক্ত থাকলে তাদের তুল্য রোধ (equivalent resistance) \(R_{eq}\) এর সূত্র হলো:

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{30 \, \Omega} + \frac{1}{30 \, \Omega}\)

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1+1}{30 \, \Omega}\)

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2}{30 \, \Omega}\)

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{15 \, \Omega}\)

\(R_{eq} = 15 \, \Omega\)

সুতরাং, এই অবস্থায় তারটির তুল্য রোধ হবে \(15 \, \Omega\)।